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Pourquoi continuons-nous à rechercher des nombres premiers au-delà de 22 millions de chiffres?

En décembre 2018, le dernier des nouveaux nombres premiers de Mersenne, un jalon qui a de nouveau mis en avant ces numéros spéciaux qui ont toujours le même format (2p-1) et qu’à chaque fois ils ont un plus grand nombre de chiffres. En fait le nombre trouvé, 274 207 281-1, a plus de 22 millions de chiffres.

La découverte semble plus anecdotique qu’autre chose, et bien que ces chiffres soient presque une obsession pour les mathématiciens, la réalité est que trouver de nouveaux nombres premiers a du sens dans divers domaines pratiques et théoriques.

Évaluer la puissance brute des processeurs

Le processus de découverte de nouveaux nombres premiers de Mersenne est particulièrement exigeant. Des programmes comme Prime95 sont utilisés pour évaluer la performance brute des processeurs modernes et nous permettent de savoir si ces puces sont capables de supporter des charges de travail très élevées pendant de longues périodes.

C’est un outil particulièrement populaire parmi fans d’overclocking, qui peut déterminer si en forçant le processeur ou d’autres composants à fonctionner de manière stable, même sous ces charges de travail élevées.

En fait, ce type de processus de calcul a permis de trouver un punaise dans les Processeurs Skylake d’Intel – Travailler avec Prime95 a révélé que ces processeurs pouvaient se bloquer ou provoquer un comportement système imprévisible. Intel a reconnu le problème et l’a résolu grâce à une mise à jour du BIOS qu’il a distribuée en collaboration avec ses partenaires dans le domaine des cartes mères.

Un supercalculateur virtuel qui surpasse tous les ordinateurs actuels

Cette recherche de Mersenne pour les nombres premiers est également devenue une démonstration de combien la informatique distribuée. Le projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) utilise précisément le logiciel Prime95 afin que la charge de travail de recherche de nouveaux nombres premiers soit répartie sur un très grand nombre d’ordinateurs à travers le monde.

Tout le monde peut rejoindre le projet, et en fait en exécutant le Programme Prime95 On nous demande si nous voulons rejoindre cette initiative ou simplement passer un « stress test » pour évaluer précisément la stabilité de notre équipe. C’est l’un des projets de calcul distribué les plus connus au monde, et bien qu’à l’origine Prime95 se concentre sur le CPU, une version GPGPU est en cours depuis longtemps qui tire précisément parti de l’énorme puissance brute des cartes graphiques dédiées.

Ce projet a été responsable de la découverte de plusieurs nouveaux nombres premiers de Mersenne, et a actuellement un débit (moyenne des 30 derniers jours) de 946 781 TFLOP.

Le chiffre est vraiment remarquable et ferait de cet « ordinateur distribué » le plus puissant du monde, surtout les supercalculateurs de la liste Top500. Le numéro un sur cette liste est Summit, aux États-Unis, avec une puissance de pointe de 200 794 TFLOPS.

Le 21 décembre 2018, il a été découvert précisément le plus grand nombre premier connu, 282 589 933-1 – il est le 51e cousin Mersenne de toute l’histoire – qui compte pas moins de 28 862 048 chiffres.

Il a été découvert par l’un des bénévoles de cet effort mondial -à l’heure actuelle, plus de deux millions de machines sont enregistrées dans ce projet singulier- qui a justement utilisé cet algorithme pour tester ses systèmes dans des scénarios de contraintes de calcul. Il y a quelques mois un autre de ces nombres premiers a été découvert, mais ce dernier est encore plus grand et donc plus frappant.

Aujourd’hui, nous l’utilisons pour crypter les communications, demain … qui sait

Comme expliqué dans Ars Technica, l’une des applications pratiques aujourd’hui de ces nombres premiers est le cryptage RSA: la personne qui souhaite recevoir un message protégé par cet algorithme publiera le produit de deux grands nombres premiers comme sa « clé publique », ce qui rend le déchiffrement très difficile par la force brute.

Preuve de Haiku

Source: xkcd. Explication de la bande dessinée, ici.

Une personne potentiellement intéressée par ces messages chiffrés devrait essayer de deviner les nombres premiers appropriés avec lesquels la clé publique a été générée, quelque chose qui peut être très laborieux.

De plus, plus les nombres premiers utilisés sont grands, plus il y a de combinaisons potentielles pour créer la clé publique et plus difficile est de trouver cette clé publique.

Le secret du succès ici est qu’il ne peut y avoir aucune confusion dans la factorisation: alors que si deux nombres quelconques étaient utilisés, il pourrait y avoir d’autres entiers avec lesquels obtenir la clé. Lors de l’utilisation de nombres premiers ces possibilités sont finies, et cela rend la découverte de nouveaux nombres premiers particulièrement intéressante.

Nombres

Les raisons de continuer à avancer dans cette recherche, comme le soutient le Dr Chris Caldwell, professeur de mathématiques à l’Université du Tennessee, sont très diverses et pas nécessairement « pratique ».

Certains le font par tradition, par penchant pour collectionner des objets ou des points de repère étranges, et même pour la gloire (et argent, trouver un nombre premier de Mersenne est payé) pour que votre nom soit associé à la découverte d’un nouveau nombre premier de Mersenne.

Cependant, c’est l’un de ces processus qui on ne sait même pas si ça sera plus utile à l’avenir, quelque chose qui s’est produit avec d’autres découvertes dans le passé qui ont ensuite été appliquées à des développements qui n’étaient même pas dans l’esprit de leurs créateurs lorsque les découvertes originales ont eu lieu. Donc, il semble que ce ne serait pas une mauvaise idée pour vous de rechercher ces nouveaux nombres premiers aussi, n’est-ce pas?

Mise à jour (décembre 2018)– Nous avons ajouté un texte pour discuter des derniers nombres premiers de Mersenne découverts en 2018, ainsi que l’introduction de liens intéressants tout au long du texte pour prolonger cette lecture.

Mise à jour (janvier 2020): nous avons légèrement mis à jour le texte et ajouté des liens plus intéressants pour le compléter.

À 45secondes.fr | « Le chiffrement ne signifie pas que la communication est totalement sécurisée » Entretien avec Phil Zimmermann

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